Inequality 13

Problem: if you know that the equation $x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0$ has at least one reel root, prove that , $a^2+b^2\geq 8$

Tournament of the Towns, 1993

Solution: let $x$ be a root of the equation, therefore, by Cauchy-Schwarz,

$(a^2+b^2)(x^6+x^2)\geq (ax^3+bx)^2=(x^2+1)^4$ and we have that,

$(x^2 -1)^4\geq 0$ $\Leftrightarrow x^8+6x^4+1\geq 4(x^6+x^2)$

$\Leftrightarrow x^8+4x^6+6x^4+4x^2+1 \geq 8(x^6+x^2)$ $\Leftrightarrow (x^2+1)^4\geq 8(x^6+x^2)$

then $a^2+b^2\geq \frac{(x^2+1)^4}{x^6+x^2}\geq8$

Published in:

on avril 7, 2009 at 2:25 Laisser un commentaire

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